|
Een ander voorbeeld van een structuur is de zogenaamde. order structuur. De verzameling E is begiftigd met een ordeningsstructuur, of geordend als tussen de elementen a è b behorende tot E een bepaalde relatie is gegeven, die we aanduiden met R (a, b). (Zo’n verhouding zou logisch moeten zijn voor elk paar elementen uit E, maar in het algemeen is het onwaar voor sommige paren en waar voor andere, bijvoorbeeld, de verhouding 7 <3 is onwaar voor een paar getallen 3 en 7, en de verhouding 3 <7 voor hetzelfde paar getallen is waar.) De relatie heeft de volgende eigenschappen: (1) R (a, a) geldt voor elke a behorende tot E; (2) uit R (a, b) en R (b, a) volgt dat a = b; (3) R (a, c) volgt uit R (a, b) en R (b, c). Hier zijn enkele voorbeelden van een groot aantal verschillende bestelde sets. (a) E bestaat uit alle gehele getallen, R (a, b) is de verhouding “a is kleiner dan of gelijk aan b”. (b) E bestaat uit alle gehele getallen> 1, R (a, b) is de verhouding “a deelt b of gelijk aan b”. (c) E bestaat uit alle cirkels op het vlak, R (a, b) – de relatie “cirkel a is vervat in b of valt samen met b”. Als laatste voorbeeld van een structuur noemen we de structuur van een metrische ruimte; een dergelijke structuur wordt gegeven op de verzameling E, als elk paar elementen a en b behorende tot E kan worden geassocieerd met een getal d (a, b) і 0 dat voldoet aan de volgende eigenschappen: (1) d (a, b) = 0 als en slechts als a = b; (2) d (b, a) = d (a, b); (3) d (a, c) Ј d (a, b) + d (b, c) voor drie gegeven elementen a, b, c van E. Hier zijn enkele voorbeelden van metrische spaties: (a) gewone “driedimensionale” ruimte, waarbij d (a, b) een gewone (of “Euclidische”) afstand is; (b) oppervlak van een bol, waarbij d (a, b) de lengte is van de kleinste boog van een cirkel die twee punten a en b op de bol verbindt; (c) elke verzameling E waarvoor d (a, b) = 1, indien a b b; d (a, a) = 0 voor elk element a. De precieze definitie van het concept structuur is nogal moeilijk. Zonder in details te treden, kunnen we zeggen dat een structuur van een bepaald type wordt gegeven op de verzameling E als tussen de elementen van de verzameling E (en soms andere objecten, bijvoorbeeld getallen die een ondersteunende rol spelen) relaties worden gegeven die voldoen aan een bepaalde vaste set van axioma’s die de structuur van het betreffende type kenmerken. … Hierboven hebben we de axioma’s van drie soorten structuren gegeven. Natuurlijk zijn er veel andere soorten structuren waarvan de theorieën volledig zijn ontwikkeld. Veel abstracte concepten zijn nauw verwant aan het concept structuur; we noemen slechts een van de belangrijkste: het concept van isomorfisme. Denk aan het voorbeeld van de groepen (b) en (c) in de vorige paragraaf. Het is gemakkelijk om dat uit de tabel te verifiëren. 1 aan tafel. 2 kan worden genavigeerd door te matchen 0 ® 1, 1 ® 2, 2 ® 4, 3 ® 3. In dit geval zeggen we dat deze groepen isomorf zijn. In het algemeen zijn twee groepen G en Gў isomorf als tussen de elementen van de groep G en de elementen van de groep Gў zo’n één-op-één overeenkomst a «aў zo kan worden vastgesteld dat als c = a * b, dan cў = aў * bў voor de overeenkomstige elementen van G. Elke uitspraak uit de groepentheorie die geldig is voor de groep G blijft geldig voor de groep Gў, en vice versa. Algebraïsch zijn de groepen G en Gў niet te onderscheiden. De lezer zal gemakkelijk zien dat men op precies dezelfde manier twee isomorf geordende verzamelingen of twee isomorfe metrische ruimten kan definiëren. Aangetoond kan worden dat het concept van isomorfisme zich uitstrekt tot structuren van elk type.
|
| https://breinbrekers.be/ |
